那些年你没学明白的数学——攻读研究生必知必会的数学_马斯·A加里蒂_9787111554783

本书是为准备攻读研究生的同学准备的数学入门读物。本书用通俗的语言和非严谨的介绍，给出了多个数学分支的概貌。这些数学分支包括：线性代数、实分析、向量函数微积分、点集拓扑、经典Stokes定理、微分形式和Stokes定理、曲线和曲面的曲率、几何学、复分析、可数和选择公理、代数、Lebesgue积分、Fourier分析、微分方程、组合数学和概率论、算法。本书适合攻读电子类、信息类、材料类、生物类、化工类、机械类等工程类专业研究生的读者阅读。本书也可作为一学期课程的教材使用。

　　数学是令人振奋的。我们生活在数学史上最伟大的时代。在20世纪30年代，有些人担心20世纪早期的数学越来越抽象，这可能会导致数学家们从事没有成果的愚蠢智力练习，也可能会导致数学分裂成完全不同的分支，就如同自然哲学被分成了物理学、化学、生物学和地质学那样。但是事实却恰恰相反。从第二次世界大战开始，人们越来越清楚地意识到数学有着统一的规律。曾经被分开的领域现在互相支撑着彼此。学习和研究数学值得倾注一生。

　　数学是复杂的。很不幸的是，人们并没有那么擅长数学。尽管学习数学可以说是一种享受，但是它仍然需要勤奋及自律。我几乎不认识把数学看作一门简单学科的数学家。事实上，大多数情况下，在几杯啤酒下肚后，他们会承认自己在数学上的愚钝。这也是一名即将攻读研究生的学生所必须面对的障碍，即怎样解决数学的深刻性与我们浅薄的数学知识间鲜明的反差。研究生院的学生流失率如此之高的部分原因也在于此。就算在最好的学校里有最高的留存率，通常也只有一半的人最终能获得博士学位。甚至在排名前二十的学校里，有时也会有80%的研究生不能毕业，尽管这些研究生比起一般人来说更加擅长于数学。很多人认为数学是一个能使他们发光发热的领域。可是突然在研究生院里他们被同样甚至更优秀（或者看起来更优秀）的人所包围。更糟的是，数学本身还是一种精英教育。学校不会为了使初学者感觉良好而背离自己的教育方式（这不是学校的工作，其工作是探索数学领域）。事实上，有更简单的谋生方式（尽管对于数学家来说可能不太令人满意）。所以“你必须被逼着成为一个数学家”这句话是有道理的。

　　尽管如此，数学还是令人兴奋的。挫折应该能够被学习和最终开拓（或发现）崭新数学领域的兴奋感而战胜。归根结底，成为一名数学研究者是进入研究生院学习的主要目标。和其他创作相同，数学的研究也会造成情绪的起伏。只有从事规律和乏味的工作才不会有情绪上的高峰和低谷。研究生面对的一部分困难就是学着怎样去处理他们情绪的低谷期。

　　本书的目标。本书的目标之一是至少给出有关主题的粗略介绍，这些主题是顶尖研究生都应该知道的。很不幸的是，对于研究生和研究工作来说，因为所需的知识要比在大学短短四年时间所学到的知识多得多，所以几乎没有新生能完全理解这些主题，不过还好，所有人都至少知道这些主题中的一部分。不同的人了解的主题不同，这也有力地表明了与他人合作的好处。

　　本书还有另外一个目标。许多非数学工作者突然发现他们需要知道一些严密的数学知识。阅读教材对于他们来说十分困难。本书的每一章都会提供一些有关他们感兴趣的主题的提纲。

　　为了能找出一些数学领域的暗示，面对一个新定义时，读者应该尽力找出一个简单的例子和一个简单的反例。顺便说一下，反例就是一个几乎满足但不完全满足定义的例子。但是，除了找出这些例子之外，读者还应该考虑基础定义被给出的原因。这使得如何研究数学被分裂成了两种思潮。一种是从合理的但不单纯的定义开始，然后证明关于这些定义的定理。通常定理的叙述都是很复杂的，包含很多不同的情形和条件，并且证明也相当复杂，需要很多特定的技巧。

　　另一种，也是在20世纪中期用得很多的一种方法，即花费大量时间研究基础定义，目的是使定理被更清晰地陈述，并且有直截了当的证明。在这种思潮下，每当在证明中用到一个技巧的时候，就意味着要进行更多的工作。这也意味着定义本身需要得到理解，即使仅仅是在解决为什么要提出此定义的水平上。但是通过这种方式，定理能够被清晰地陈述和证明。

　　在这种方法中，例子成了关键。对于一些基本例子，大家已经熟知了它们的性质。这些例子会使抽象的定义和定理形象化。事实上，这些定义的产生是为了给出相应的定理，以及与之相关的例子，这也是我们所期待的答案。只有那样，定理才能被应用到新的例子和那些我们不了解的情形中。

前言关于数学的结构主题概要 01线性代数 02实分析 03向量值函数的微积分 04点集拓扑 05经典Stokes定理 06微分形式和Stokes定理 07曲线和曲面的曲率 08几何学 09复分析 010可数性和选择公理 011代数 012勒贝格积分 013傅里叶分析 014微分方程 015组合学和概率论 016算法第1章线性代数 11介绍 12基本向量空间Rn 13向量空间和线性变换 14基、维数和表示为矩阵的线性变换 15行列式 16线性代数基本定理 17相似矩阵 18特征值和特征向量 19对偶向量空间 110推荐阅读 111练习第2章ε和δ实分析 21极限 22连续性 23微分 24积分 25微积分基本定理 26函数的点态收敛 27一致收敛 28Weierstrass M判别法 29Weierstrass的例子 210推荐阅读 211练习第3章向量值函数的微积分 31向量值函数 32向量值函数的极限和连续性 33微分和Jacobi矩阵 34反函数定理 35隐函数定理 36推荐阅读 37练习那些年你没学明白的数学——攻读研究生必知必会的数学目录第4章点集拓扑 41基础定义 42Rn上的标准拓扑 43度量空间 44拓扑基 45交换环的Zariski拓扑 46推荐阅读 47练习第5章经典Stokes定理 51关于向量微积分的准备工作 511向量场 512流形和边界 513路径积分 514曲面积分 515梯度 516散度 517旋度 518可定向性 52散度定理和Stokes定理 53散度定理的物理解释 54Stokes定理的物理解释 55散度定理的证明梗概 56Stokes定理的证明梗概 57推荐阅读 58练习第6章微分形式和Stokes定理 61平行六面体的体积 62微分形式和外导数 621初等k形式 622k形式的向量空间 623处理k形式的准则 624微分k形式和外导数 63微分形式和向量场 64流形 65切空间和定向 651隐式和参数化流形的切空间 652抽象流形的切空间 653向量空间的定向 654流形和它的边界的定向 66流形上的积分 67Stokes定理 68推荐阅读 69练习第7章曲线和曲面的曲率 71平面曲线 72空间曲线 73曲面 74GaussBonet定理 75推荐阅读 76练习第8章几何学 81欧式几何 82双曲几何 83椭圆几何 84曲率 85推荐阅读 86练习第9章复分析 91解析函数 92柯西黎曼方程 93复变函数的积分表示 94解析函数的幂级数表示 95保角映射 96黎曼映射定理 97多复变数：哈托格斯定理 98推荐阅读 99练习第10章可数性和选择公理 101可数性 102朴素集合论与悖论 103选择公理 104不可测集 105哥德尔和独立性证明 106推荐阅读 107练习第11章代数 111群 112表示论 113环 114域和迦罗瓦理论 115推荐阅读 116练习第12章勒贝格积分 121勒贝格测度 122康托集 123勒贝格积分 124收敛理论 125推荐阅读 126练习第13章傅里叶分析 131波函数，周期函数和三角学 132傅里叶级数 133收敛问题 134傅里叶积分和变换 135求解微分方程 136推荐阅读 137练习第14章微分方程 141基本知识 142常微分方程 143拉普拉斯算子 1431平均值原理 1432变量分离 1433在复分析上的应用 144热传导方程 145波动方程 1451来源 1452变量代换 146求解失败：可积性条件 147Lewy的例子 148推荐阅读 149练习第15章组合学和概率论 151计数 152概率论基础 153独立性 154期望和方差 155中心极限定理 156n!的Stirling近似 157推荐阅读 158练习第16章算法 161算法和复杂度 162图：欧拉和哈密顿回路 163排序和树 164P=NP? 165数值分析：牛顿法 166推荐阅读 167练习附录等价关系参考文献

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