本书系统讲述实变函数的基本理论，包括集合论的基本概念、欧几里得空间的拓扑性质与连续函数的基本性质、点集的测度与可测函数、Lebesgue积分理论以及微积分基本定理。

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　　现代工业文明起源于牛顿力学。微积分是牛顿力学的基石。1671年牛顿出版了《流数法和无穷级数》从而创立了微积分。与他同时期，1684年德国数学家莱布尼茨发表了题为《-种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算》的论文，独立地创立了微积分。1687年牛顿出版了《自然哲学的数学原理》从而建立了经典力学的基础，利用微积分，事物非均匀变化的规律可以得到准确的描述：速度是物体运动行程关于时间的导数；速度的导数是加速度；加速度与所受的力成正比。漫长的人类发展史（约350万-600万年）和文明史（约5000-7000年）孕育了微积分的诞生。微积分的诞生迄今才340多年，今天，从自然科学到社会科学，微积分是我们描述和认识复杂事物必不可少的工具。没有微积分就没有现代工业和科技文明，
　　数学源于人们对于度量的需要，度量导致了对数和形的认识与研究，人们逐步认识了自然数、有理数、无理数以及正数、负数、复数；对形的认识首先是直的（正方形、矩形、三角形、多边形），然后是曲的（圆、椭圆、曲边形），最后是一般的集合，实变函数在高维欧几里得空间的一般点集上建立度量理论（Lebesgue测度）和积分理论（Lebesgue积分），发展了微积分，奠定了分析数学的重要基础。
　　为了在高维欧几里得空间的点集上建立度量和积分理论，19世纪后期，以Borel为代表的法国数学家（Borel，Bair，Lebesgue等）做出了杰出的贡献。1901年，年仅26岁的Lebesgue发表了论文《论定积分的一种推广》，在该文中，他建立了现在被称为Lebesgue测度和Lebesgue积分的新理论，他对欧几里得空间中非常一般的集合建立了体积度量，并对定义在集合上的函数建立了积分理论。Lebesgue测度和Lebesgue积分理论己成为泛函分析、调和分析、测度论、抽象分析等学科的基础，是现代分析数学的基石，不能想象没有Lebesgue积分的数学会是什么样子。斗转星移，百年间人类历史发生了巨变。数学改变了世界，而Lebesgue积分是数学发展的里程碑（推荐读者阅读Jean-Pierre Kahane为纪念Lebesgue积分100周年而写的文章《Lebesgue积分的产生及其影响》，中译本发表于《数学进展》，Vol.31，No.2，2002年4月）。
　　实变函数便是系统讲授Lebesgue测度和Lebesgue积分的专业课程，从知识结构上说，它与复变函数一起承接微积分的基本理论和方法，复变函数论从复变量函数的解析性（任意方向的可微性）上延伸微积分；而实变函数以扩充实函数的积分体系为主线，在非常广泛的意义上拓广函数的概念，建立了Lebesgue积分理论，发展出一套技巧精湛的分析方法。

目录
第1章 集合与Rn中点集 1
1.1 集合及其基数 1
1.2 Rn中点集及其拓扑性质 11
1.3 Rn中点集上的连续函数 19
1.4 注记 25
第2章 Lebesgue测度 26
2.1 外测度 26
2.2 可测集及其性质 32
2.3 可测集的构造 38
2.4 不可测集 43
2.5 注记 44
第3章 Lebesgue可测函数 45
3.1 可测函数及其对运算的封闭性 46
3.2 可测函数的构造 51
3.2.1 几类常见函数的可测性 51
3.2.2 可测函数是简单函数的极限 52
3.2.3 可测函数是连续函数的极限 54
3.3 可测函数列的收敛性 57
3.3.1 几乎处处收敛与一致收敛的条件 57
3.3.2 几乎处处收敛与一致收敛的关系 59
3.3.3 几乎处处收敛与依测度收敛的关系 60
3.4 注记 63
第4章 Lebesgue积分 64
4.1 非负简单函数的积分 64
4.2 非负可测函数的积分 66
4.3 一般可测函数的积分 73
4.4 积分的极限定理 77
4.5 积分的变量替换 84
4.6 重积分与累次积分 88
4.7 Lebesgue积分与Riemann积分的关系 94？
4.8 注记 101
第5章 微分定理与Newton-Leibniz公式 102
5.1 Lebesgue微分定理 102
5.2 单调函数的可微性 109
5.3 有界变差函数及其导数的可积性 114
5.4 绝对连续函数与Newton-Leibniz公式 117
5.5 注记 124
第6章 Lp空间 126
6.1 Lp空间的定义 126
6.1.1 1≤p≤1的情形 126
6.1.2 p=2的情形 131
6.2 Lp空间中一些重要事实 133
6.2.1 Lp空间对指数p的相依性 134
6.2.2 Lp(Rn)中的逼近定理 138
6.2.3 卷积与恒等逼近 140
6.3 注记 144
第7章 测度论简介 146
7.1 可测空间与测度 146
7.2 可测函数 149
7.3 抽象积分 150
7.4 测度的构造与完备化 153
7.5 符号测度及其表示 155
7.6 注记 156
参考文献 158
索引 159