泛函分析是综合运用函数论、几何学、现代数学的观点来研究无限维向量空间上的泛函、算子和极限的理论，可视为无限维向量空间的解析几何与数学分析，广泛应用于数学物理方程、概率论、计算数学等分支学科中，也是研究具有无限个自由度的物理系统的数学工具. 本书介绍泛函分析的基础知识，具体内容包括度量空间与赋范空间、有界线性算子、Hilbert空间、有界线性算子的谱、拓扑线性空间和广义函数. 全书力求通俗易懂，让读者在短时间内初步了解和掌握泛函分析的基本理论与思想.本书适合高等学校数学系高年级本科生和研究生使用，也可供工程技术人员和数学工作者参考.

张晶，副教授，硕士生导师，哈尔滨师范大学数学与应用数学学士，哈尔滨师范大学基础数学硕士，哈尔滨工业大学基础数学博士，长期从事数学的教学与研究工作。

目 录
第1章 度量空间与赋范空间 1
1.1 线性空间 1
1.2 度量空间的基本概念 4
1.2.1 度量空间的定义和例子 4
1.2.2 序列的极限 6
1.2.3 度量空间中的点集 8
1.3 赋范空间的基本概念 10
1.3.1 赋范空间的定义 10
1.3.2 内积空间的定义 12
1.4 赋范空间的例子 16
1.5 完备性 24
1.5.1 空间的完备性 24
1.5.2 完备空间的性质 26
1.5.3 压缩映射原理 29
1.5.4 空间的完备化 33
1.6 紧性与连续映射、范数等价性 34
1.6.1 映射的定义及其性质 34
1.6.2 紧集与列紧集 37
1.6.3 有限维赋范空间上的范数等价性 41
1.7 可分性 45
习题1 47
第2章 有界线性算子 51
2.1 有界线性算子的基本概念 51
2.1.1 有界线性算子的定义及举例 51
2.1.2 算子范数 56
2.1.3 有界线性算子空间 58
2.2 Hahn-Banach定理 59
2.2.1 Hahn-Banach定理的内容 59
2.2.2 Hahn-Banach定理的应用 63
2.3 凸集的分离定理 64
2.3.1 凸集与超平面 65
2.3.2 越平面分离与超平面严格分离 67
2.3.3 最佳逼近元的存在性和唯一性 69
2.4 巴拿赫逆算子定理、闭图像定理、共鸣定理 72
2.4.1 巴拿赫逆算子定理 72
2.4.2 闭图像定理 76
2.4.3 共鸣定理 78
2.5 共轭空间的表示定理 82
2.6 弱收敛与弱*收敛 89
2.6.1 二次共轭空间 89
2.6.2 弱收敛与弱*收敛基础 96
2.6.3 某些空间上弱收敛的等价特征 98
2.7 共轭算子与紧算子 100
2.7.1 共轭空间 100
2.7.2 紧算子 102
习题2 106
第3章 Hilbert空间 111
3.1 内积空间 111
3.1.1 内积空间的基本概念 111
3.1.2 正交性 118
3.2 正交投影与正交系 121
3.2.1 正交投影 121
3.2.2 规范正交基 128
3.2.3 正交系的完全性 132
3.2.4 Gram-Schmidt正交化方法 134
3.3 Riesz表示定理、伴随算子 136
3.3.1 Riesz表示定理 136
3.3.2 伴随算子 139
3.3.3 自伴算子 143
3.3.4 可分Hilbert空间上有界线性算子的矩阵表达式 148
习题3 149

第4章 有界线性算子的谱 152
4.1 有界线性算子的正则性与谱 152
4.1.1 可逆算子 152
4.1.2 正则算子与算子谱 153
4.1.3 例子 162
4.2 紧算子的谱论 164
4.3 自伴算子的谱论 171
4.3.1 自伴算子的谱 171
4.3.2 紧算子的谱分解 174
4.3.3 正算子的平方根 178
4.4 自伴算子的谱系与谱分解 180
4.4.1 谱系与谱积分 180
4.4.2 自伴算子的谱分解 187
4.5 全连续算子的谱论 193
4.5.1 全连续算子的定义和基本性质 193
4.5.2 全连续算子的谱集 196
习题4 201
第5章 拓扑线性空间 204
5.1 拓扑线性空间的基本概念 204
5.1.1 拓扑空间的基本概念 204
5.1.2 拓扑线性空间的定义 205
5.1.3 分离定理 207
5.1.4 平衡集、吸收集、有界集 209
5.2 局部凸空间、可度量化和可赋范 211
5.2.1 局部凸空间 211
5.2.2 可度量化和可赋范 215
5.3 有界线性算子 218
5.3.1 有界线性算子与泛函 218
5.3.2 泛函延拓定理与凸集分离定理 220
5.3.3 弱拓扑与弱*拓扑 221
习题5 223
第6章 广义函数 226
6.1 基本函数和广义函数 226
6.1.1 基本函数空间K 227
6.1.2 广义函数空间 230
6.2 广义函数的基本性质和运算 231
6.2.1 广义函数的基本性质 231
6.2.2 广义函数的运算 234
6.3 广义函数的Fourier变换 237
6.3.1 基本函数的Fourier变换 237
6.3.2 FK空间上的连续线性泛函 239
6.3.3 广义函数的Fourier变换基础 239
6.3.4 广义函数的卷积 240
6.3.5 常系数偏微分方程的基本解 242
6.3.6 基本函数空间S 246
习题6 249
附录A 等价关系半序集与Zorn引理 250
参考文献 252