本书为日本东京大学数学教学成果的总结性作品，由时任东京大学理学院院长弥永昌吉教授策划，教学经验丰富的斋藤正彦教授执笔创作，是日本久负盛名的线性代数图书。本书内容结合了东京大学教养学部的线性代数课程实践，以及东京大学数学系诸多教授的探讨与思索。本书内容循序渐进，结构严谨，从直观描述开始，逐步引入形式描述，注重从几何角度引导读者理解线性代数的本质，是帮助读者学习线性代数、加深对线性代数理解的数学教材。

本书适合高中生、大学生和对线性代数感兴趣的读者阅读。

用几何直观描述呈现线性代数本质，在现代数学体系中传递线性代数应用技巧

·日本长销线性代数入门好书，东京大学出版会镇社之宝

本书出版于1966年，在日本长销至今，加印33次 销量突破35万册，是东京大学出版会加印次数多的图书。东京大学、京都大学、东京工业大学、东北大学等日本名校，将本书选为教科书或参考书。

·日本数学会出版奖 获奖作品

本书因其对日本数学教育与科技发展的突出贡献，于2006年获得日本数学会出版奖。

·融合日本东京大学线性代数教育研究与实践成果

本书由时任东京大学理学院院长弥永昌吉教授策划，教学经验丰富的斋藤正彦教授执笔创作，结合了东京大学教养学部的线性代数课程实践，以及东京大学数学系诸多教授的探讨与思索，是日本久负盛名的线性代数名著。

·直观与严密相结合，兼顾技术应用导向

本书从直观描述开始，逐步引入形式描述，注重从几何角度引导读者理解线性代数的本质，能助读者加深对线性代数的理解。

斋藤正彦（Masahiko Saito） 日本数学家，东京大学荣休教授。毕业于日本东京大学理学部数学系，获法国巴黎大学理学博士学位。在东京大学任职教授期间长年从事数学教学研究与实践，所著《线性代数入门》一书，因其对日本数学教育与科技发展的突出贡献，于2006年获得日本数学会出版奖。另著有《超积与非标准分析》《线性代数练习》《数学的基础集合、数、拓扑》《群论入门》《微积分学》《数的宇宙》《从日语到符号理论》等。

序

前言

第 1 章平面向量和空间向量 1

1.1 平面向量和空间向量 1

1.2 直线和平面 6

1.3 线性变换：平面上的旋转与矩阵 12

1.4 三阶矩阵和V 3 上的线性变换 17

1.5 行列式和向量积 20

习题 26

第 2 章矩阵 28

2.1 矩阵的定义和计算 28

2.2 方块矩阵与可逆矩阵 37

2.3 矩阵与线性映射 40

2.4 矩阵的初等变换：秩 41

2.5 线性方程组 49

2.6 内积与酉矩阵、正交矩阵 57

2.7 合同变换 61

习题 65

第3 章行列式 68

3.1 置换 68

3.2 行列式 71

3.3 行列式的展开 79

习题 84

第4 章线性空间 87

4.1 集合与映射 87

4.2 线性空间 90

4.3 基与维数 93

4.4 线性子空间 99

4.5 线性映射与线性变换 104

4.6 度量线性空间 110

习题 117

第5 章特征值和特征向量 121

5.1 特征值与特征根 121

5.2 酉空间的正规变换 129

5.3 实度量空间的对称变换 138

5.4 二次型 141

5.5 二次曲线与二次曲面 146

5.6 正交变换与三维空间的旋转 152

习题 157

第6 章不变因子和若尔当标准形 160

6.1 不变因子 160

6.2 若尔当标准形 . 173

6.3 最小多项式 . 185

习题 189

第7 章向量和矩阵的解析处理 191

7.1 向量值函数和矩阵函数的微积分 191

7.2 矩阵的幂级数 195

7.3 非负矩阵 205

习题 210

附录1 多项式 212

附录2 欧几里得几何的公理 228

附录3 群与域的公理 233

后记 240

习题答案 241