本书主要介绍三维欧氏空间中曲线、曲面的局部理论和内蕴性质，侧重介绍如何利用自然标架和活动标架研究曲线、曲面的性质，扼要介绍了整体微分几何的一些初步知识。为了使学生能接触一些张量分析的方法，书中也介绍了多重线性代数的相关内容。

第1章 向量函数
§1.1 向量代数
§1.1.1 n维向量空间与欧氏空间
§1.1.2 三维欧氏空间
§1.1.3 向量的代数运算
§1.1.4 正交标架与坐标变换
§1.1.5 合同变换
§1.2 向量分析
§1.2.1 向量函数的概念
§1.2.2 向量函数的极限
§1.2.3 向量函数的连续
§1.2.4 向量函数的微商
§1.2.5 向量函数的Taylor公式
§1.2.6 向量函数的积分
§1.3 几类特殊的向量函数
第2章 曲线的局部理论
§2.1 曲线的基本概念
§2.1.1 曲线的概念
§2.1.2 曲线的弧长与弧长参数
§2.2 曲线的nenet公式
§2.2.1 曲线的：Frenet标架
§2.2.2 空间曲线的的曲率
§2.2.3 空间曲线的Frenet公式
§2.2.4 一般方程给出的空间曲线的曲率和挠率
§2.3 空间曲线在一点附近的结构
§2.3.1 近似曲线
§2.3.2 密切圆（曲率圆）
§2.4 曲线论基本定理
§2.5 几类特殊曲线
§2.5.1 平面曲线
§2.5.2 柱面螺线
§2.5.3 曲线的渐伸线和渐缩线
§2.5.4 贝特朗（Bertrand）曲线
第3章 曲面的局部理论
§3.1 曲面的定义
§3.1.1 正则曲面
§3.1.2 曲面的参数变换
§3.1.3 曲面的切平面及法线
§3.1.4 曲面间的映射及切映射
§3.2 曲面的第一基本形式
§3.2.1 曲面的第一基本形式，曲面上曲线的弧长
§3.2.2 曲面曲线的弧长
§3.2.3 曲面上两相交曲线的夹角
§3.2.4 曲面上的正交曲线网
§3.2.5 曲面域的面积
§3.3 曲面的第二基本形式
§3.4 法曲率
§3.4.1 曲面的法曲率
§3.4.2 曲面上点的分类
§3.4.3 法曲率的几何意义
§3.4.4 曲面的Gauss映射
§3.5 主曲率和Gauss曲率
§3.5.1 主方向的计算
§3.5.2 法曲率和主曲率的关系
§3.5.3 二阶近似曲面
§3.5.4 Gauss曲率的几何意义
第4章 特殊曲面
§4.1 旋转曲面
§4.2 极小曲面
§4.3 直纹面和可展曲面
§4.3.1 直纹面
§4.3.2 可展曲面
§4.3.3 可展曲面作为单参数族的包络面
§4.4 全脐点曲面
第5章 曲面论基本定理
§5.1 自然标架运动方程
§5.2 曲面的结构方程
§5.2.1 曲面基本方程的推导
§5.2.2 Gauss曲率的内蕴性质
§5.3 曲面论基本定理
第6章 张量
§6.1 张量积
§6.1.1 对偶空间
§6.1.21 阶张量
§6.1.32 阶张量
§6.2 高阶张量
§6.2.1 p阶反变q阶协变张量
§6.2.2 协变张量
第7章 活动标架法
§7.1 外微分法
§7.1.1 外微分法
§7.1.2 微分形式的积分
§7.2 E3的正交标架
§7.2.1 活动标架的相对分量
§7.2.2 活动标架的结构方程
§7.2.3 活动标架基本定理
§7.3 活动标架法的应用
§7.3.1 曲面的活动标架场
§7.3.2 曲面的结构方程
§7.3.3 曲面的基本形式
§7.3.4 曲面的Gauss曲率和平均曲率
第8章 曲面的内蕴几何
§8.1 曲面的等距变换
§8.2 测地曲率和测地线
§8.2.1 曲面曲线的测地曲率和测地挠率
§8.2.2 测地曲率的计算公式
§8.2.3 曲面上的测地线
§8.2.4 变分法
§8.3 曲面上向量的平行移动
§8.3.1 平行移动
§8.3.2 向量场沿测地线的平行移动
§8.4 测地坐标系
§8.4.1 测地平行坐标系
§8.4.2 曲面上测地线的短程性
§8.4.3 测地极坐标系和法坐标系
§8.5 Gauss-Bonnet公式
§8.6 Riemann度量
§8.6.1 切向量场
§8.6.2 Poincara度量
§8.6.3 罗氏平面上的测地线
§8.6.4 罗氏平面的平行公理
第9章 曲线的整体性质
§9.1 平面曲线的整体性质
§9.1.1 旋转指标
§9.1.2 等周不等式
§9.1.3 凸闭曲线
§9.2 空间曲线的整体性质
§9.2.1 球面上的克罗夫顿（Crofton）公式
§9.2.2 简单闭曲线的全曲率
§9.2.3 有结曲线的全曲率
§9.2.4 空间曲线的全挠率
第10章 曲面的整体性质
§10.1 简单曲面和光滑曲面
§10.2 整体Gauss-Bonnet定理
§10.2.1 亏格与示性数
§10.2.2 Gauss-Bonnet公式
§10.2.3 Gauss-Bonnet定理的应用
§10.3 凸曲面和卵形面
§10.4 刚性曲面与W曲面
§10.4.1 刚性曲面
§10.4.2 Minkowski唯一性问题
§10.4.3 Weingarten曲面
§10.5 曲面上的Laplace算子
§10.5.1 曲面的Laplace算子
§10.5.2 自然标架下Laplace算子的表达式
§10.6 向量场的奇点与指标
§10.7 曲面的完备性
附录 部分习题参考答案
参考文献