本书针对工程硕士研究生的特点和创新型人才培养的要求, 将矩阵论、数值分析和规划数学中应用非常广泛的最优化问题按学生容易接受的内容体系进行编写. 全书共12章, 其内容依次为初等变换与线性方程组的直接解法、线性空间、赋范线性空间与内积空间、线性映射、矩阵的若尔当标准形与矩阵函数、线性方程组的求解方法、非线性方程(组)的解法、最优化问题、无约束优化问题的求解算法、约束优化问题的求解算法、数值微分与微分方程的数值解法、应用案例. 本书内容尽可能做到深入浅出, 通俗易懂, 使研究生在学习数学知识的同时, 提高应用数学的能力.

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国家自然科学基金面上项目：等离子体物理中几类非线性发展方程的数学研究项目负责人，2020.1-2023.12.

目录
前言
第1章 初等变换与线性方程组的直接解法 1
1.1 初等变换 1
1.2 高斯消元法 8
1.3 求线性方程组解的LU分解算法 12
习题1 24
第2章 线性空间 26
2.1 线性空间概述. 26
2.1.1 集合与映射 26
2.1.2 线性空间的概念 28
2.1.3 线性空间的基、维数与坐标 30
2.2 线性子空间 42
2.2.1 线性子空间的概念 42
2.2.2 子空间的交与和 46
2.2.3 线性空间的直和分解 50
2.3 函数插值 51
2.3.1 函数插值的有关概念 51
2.3.2 拉格朗日插值多项式 55
2.3.3 牛顿插值多项式 57
2.4 数值积分 62
2.4.1 数值积分的有关概念 62
2.4.2 插值型求积公式 65
2.4.3 高斯型求积公式 71
习题2 73
第3章 赋范线性空间与内积空间 81
3.1 赋范线性空间 81
3.1.1 赋范线性空间 81
3.1.2 矩阵的范数 84
3.2 内积空间 91
3.2.1 内积的定义与性质 91
3.2.2 内积的表示 94
3.2.3 向量的正交与向量组的施密特正交化方法 95
3.3 矩阵分析初步 104
3.3.1 矩阵序列的极限 105
3.3.2 方阵的幂级数 108
3.3.3 函数矩阵的微分和积分 111
习题3 119
第4章 线性映射 124
4.1 线性映射的定义与性质 124
4.2 线性映射的表示矩阵131
4.3 线性变换的特征值与特征向量.139
习题4 142
第5章 矩阵的若尔当标准形与矩阵函数 146
5.1 λ 矩阵及其史密斯标准形 146
5.2 矩阵的若尔当标准形 153
5.3 矩阵的最小多项式与矩阵函数 162
5.3.1 矩阵的最小多项式 162
5.3.2 矩阵函数 165
习题5 169
第6章 线性方程组的求解方法 173
6.1 求解线性方程组的迭代法 173
6.2 求解正定线性方程组的共轭梯度法 179
6.2.1 共轭方向法 179
6.2.2 共轭梯度法 181
6.3 矛盾线性方程组的最小二乘解与极小范数最小二乘解 184
6.3.1 矛盾线性方程组的最小二乘解 184
6.3.2 线性方程组的极小范数最小二乘解 188
习题6 192
第7章 非线性方程(组)的解法 195
7.1 根的隔离区间和解非线性方程的二分法 196
7.2 求解非线性方程根的不动点迭代法 197
7.2.1 基本概念 197
7.2.2 迭代法的收敛性 198
7.3 牛顿迭代法 201
7.3.1 牛顿迭代公式 201
7.3.2 牛顿迭代法的收敛性 202
7.3.3 牛顿迭代法的重根处理 204
7.4 求解非线性方程组的迭代法 206
习题7 208
第8章 最优化问题 209
8.1 最优化问题的一些基本概念 209
8.2 最优性条件 212
8.2.1 无约束最优化问题的最优性条件 212
8.2.2 约束最优化问题的最优性条件 213
8.3 最优化方法概述 217
8.3.1 最优化方法的基本思想 217
8.3.2 算法评价 219
8.3.3 算法的终止准则 220
8.4 一维搜索 220
8.4.1 最优一维搜索 221
8.4.2 不精确一维搜索 227
习题8 229
第9章 无约束优化问题的求解算法 233
9.1 最速下降法与牛顿迭代法 233
9.1.1 最速下降法 233
9.1.2 牛顿迭代法 236
9.2 共轭梯度法 240
9.3 拟牛顿法 242
9.4 最小二乘问题的求解算法 247
习题9 250
第10章 约束优化问题的求解算法 253
10.1 求解线性规划问题的单纯形法 253
10.2 求解非线性规划问题的可行方向法 259
10.3 求解非线性约束规划问题的罚函数法和广义乘子法 262
10.3.1 罚函数法 263
10.3.2 广义乘子法 265
习题10 270
第11章 数值微分与微分方程的数值解法 274
11.1 数值微分 274
11.1.1 利用差商求数值微分 275
11.1.2 插值型求导公式 276
11.2 求解常微分方程初值问题的单步法 277
11.2.1 欧拉法及其扩展：θ法 278
11.2.2 θ法的误差分析 280
11.2.3 一般的显式单步法 284
11.2.4 单步法的稳定性 288
11.3 龙格-库塔方法 292
11.3.1 一般格式 292
11.3.2 线性多步法 299
习题11 305
第12章 应用案例 308
12.1 基于改进欧拉法的电力系统暂态稳定性的研究 308
12.1.1 改进欧拉法的基本思路及求解步骤 309
12.1.2 用改进欧拉法求解两机系统微分方程 310
12.2 阿尔瓦拉多电力市场模型的李雅普诺夫稳定性 311
12.2.1 阿尔瓦拉多电力市场模型 311
12.2.2 阿尔瓦拉多电力市场模型的稳定性 313
12.2.3 阿尔瓦拉多电力市场模型的区间稳定性 315
12.3 一种基于范数的小扰动稳定性判别方法 320
12.4 矩阵论在线性常微分方程求解中的应用 322
12.4.1 一阶线性常微分方程组的初值问题的求解 322
12.4.2 n 阶线性常微分方程的初值问题的求解 324
12.5 电路变换及其应用 326
12.5.1 电路方程线性变换的基本理论 326
12.5.2 多相电路中的一个特殊的线性变换 327
12.5.3 线性变换在三相异步电机解耦中的应用 331
12.6 最小二乘法的应用 332
12.6.1 最小二乘法在系统辨识中的应用 332
12.6.2 最小二乘法在回归分析中的应用 335
12.7 基于改进单纯形法的杆塔优化规划 337
12.7.1 直线塔档距规划的数学模型 337
12.7.2 模型的建立和算法求解 339
12.8 基于广义逆和函数变换的优化算法与应用 340
12.9 火力发电厂配煤问题 343
12.10 最优投资组合问题 346
12.11 火电系统有功负荷的经济调度 348
12.12 养老保险问题 349
参考文献 351
索引 354