本书是作者结合在电子科技大学为数学专业本科生、研究生及工科各专业的硕士和博士研究生讲授泛函分析课程近十年的教学经验，编写的一本泛函分析教材。本书从最基本的概念出发介绍泛函分析的知识，借助常见“平凡”的例子帮读者更好地理解泛函分析的概念。内容涵盖泛函分析的基本原理及其在偏微分方程理论、数值计算方法和最优化分析等领域的应用实例。全书共九章，包括度量空间、Banach空间、Hilbert空间、对偶空间理论、紧算子和Fredholm算子、有界线性算子的谱理论、Hilbert空间上的无界算子、广义函数与Sobolev空间、Lp空间插值。

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兰州大学数学博士，电子科技大学数学科学学院，教授

目录
前言
第1章 度量空间 1
1.1 度量空间的定义和基本性质 1
1.1.1 度量空间的定义 1
1.1.2 完备性 5
1.2 度量空间中的开集和闭集 15
1.3 纲与Baire纲定理 17
1.4 可分的度量空间 20
1.5 列紧性和紧性 22
1.6 Arzela-Ascoli定理 25
1.7 Banach压缩映像原理 29
习题1 35
第2章 Banach空间 41
2.1 Banach空间的定义及重要例子 41
2.1.1 线性空间 41
2.1.2 半范数与范数 43
2.1.3 赋范线性空间与Banach空间 46
2.1.4 有限维赋范线性空间与Riesz引理 48
2.2 有界线性算子和有界线性泛函 51
2.3 开映射定理 59
2.4 有界线性算子的逆算子 62
2.5 闭图像定理与共鸣定理 68
2.6 Hahn-Banach定理 73
2.7 Hahn-Banach定理的应用 80
2.7.1 Hahn-Banach 定理的几何形式 80
2.7.2 凸集分离定理 82
2.7.3 测度问题 83
2.7.4 最佳逼近问题 86
2.7.5 凸集上的最佳逼近元 87
2.7.6 矩量问题 91
2.8 Korovkin定理 94
习题2 101
第3章 Hilbert空间 110
3.1 内积空间与Hilbert空间的定义 110
3.2 正交系和正交基 113
3.3 Riesz表示定理与Lax-Milgram定理 120
3.4 Hilbert空间上的共轭算子 125
3.5 投影定理 129
3.6 投影算子的性质 133
3.7 投影算子与不变子空间 141
习题3 142
第4章 对偶空间理论 151
4.1 几类重要Banach空间的对偶空间 151
4.1.1 lp的对偶空间 151
4.1.2 Lp(a,b)的对偶空间 154
4.1.3 连续函数空间的对偶空间 158
4.1.4 可分Banach空间的对偶空间的可分性 163
4.2 自反的Banach空间 163
4.3 赋范线性空间上的共轭算子 166
4.4 零化子空间与直和分解 168
4.5 弱收敛与弱收敛 170
4.6 算子序列的收敛性 174
习题4 178
第5章 紧算子和Fredholm算子 182
5.1 紧算子 182
5.1.1 紧算子的定义与基本性质 182
5.1.2 有限秩算子 189
5.2 Hilbert-Schmidt算子 196
5.3 Fredholm算子 198
习题5 203
第6章 有界线性算子的谱理论 206
6.1 有界线性算子谱的定义和基本性质 206
6.1.1 有界线性算子谱的定义 206
6.1.2 预解集的性质 208
6.1.3 抽象解析函数与谱集的非空性 211
6.1.4 谱半径公式 214
6.2 紧算子的谱理论 215
6.3 Hilbert空间上自伴紧算子的谱理论 220
6.3.1 对弦振动问题的应用 225
6.3.2 迹类算子 230
6.4 谱测度、谱系和谱积分 234
6.4.1 谱测度 237
6.4.2 谱系 243
6.4.3 谱系和谱测度的关系 246
6.5 酉算子的谱分解 247
6.5.1 酉算子的定义 247
6.5.2 酉算子的谱分解 249
6.5.3 L2-Fourier变换 257
6.6 有界自伴算子的谱分解 259
习题6 266
第7章 Hilbert空间上的无界算子 272
7.1 对称算子和自伴算子273
7.1.1 稠定算子的共轭算子 273
7.1.2 对称算子和自伴算子的定义 275
7.1.3 酉等价 277
7.1.4 算子的图像 279
7.1.5 对称算子为自伴算子的条件 280
7.2 自伴算子的谱 282
7.2.1 自伴算子的谱的基本性质 283
7.2.2 Cayley变换 284
7.2.3 无界函数的谱积分 287
7.2.4 自伴算子的谱分解定理 290
习题7 293
第8章 广义函数与Sobolev空间 295
8.1 辅助材料 295
8.1.1 记号 296
8.1.2 半范数 296
8.2 具紧支集的光滑函数 300
8.3 广义函数 304
8.4 缓增分布与Fourier变换 312
8.4.1 Fourier变换 312
8.4.2 Schwartz函数类 313
8.4.3 缓增分布 317
8.5 Holder空间 320
8.6 整数阶Sobolev空间 321
8.7 Sobolev嵌入定理 326
8.8 实指数Sobolev空间 335
8.9 迹定理 338
习题8 340
第9章 Lp空间插值 344
9.1 函数插值 344
9.2 算子插值 347
9.3 几个重要的不等式 352
习题9 354
参考文献 355