本书在我校多年使用的微积分教案基础上，吸收了广大授课师生的意见，并根据专业学习与考研要求，结合经济社会发展实际，对相关章节进行了局部调整和修改，着重介绍了微积分的基本理论和方法，既注重结合工业工程、经济管理专业实际，又考虑部分考研升造学生的需要，具有一定的深度和广度，内容丰富，条理清楚，重点突出，难点分散，书中每章均配有一定量的习题，便于学生自学与巩固提高，使读者进一步加深数学思想与数学文化的理解。本书可作为高等学校理工科非数学类专业和经管类专业本科生的数学课教材或教学参考书，也可供科学研究与工程技术人员学习参考。

谢小良，博导，二级教授，湖南工商大学数学学院院长。湖南师大，数学本科；湖南师大，数学硕士；中南大学，工学博士。1985.6-2001.6，湖南汨罗市一中任教高中数学；2001.7至今，湖南工商大学任教高等数学。发表了多篇SCI学术论文。出版多部教材。

目　　录

第1章 函数 1
1.1 函数的概念 1
1.1.1 区间与邻域 1
1.1.2 函数的概念 2
1.1.3 函数的几种特性 4
习题1.1 6
1.2 反函数与复合函数 7
1.2.1 反函数 7
1.2.2 复合函数 9
习题1.2 10
1.3 基本初等函数、初等函数 10
1.3.1 基本初等函数 10
1.3.2 初等函数 14
习题1.3 14
1.4 常用经济函数及其应用 14
1.4.1 单利与复利 15
1.4.2 需求函数、供给函数
与市场均衡 15
习题1.4 19
习题1 20
第2章 极限与连续 22
2.1 数列的极限 22
2.1.1 数列极限的定义 22
2.1.2 数列极限的性质 25
2.2 函数的极限 27
2.2.1 函数极限的定义 27
2.2.2 函数极限的主要性质 31
习题2.2 31
2.3 无穷小与无穷大 32
2.3.1 无穷小 32
2.3.2 无穷大 34
2.3.3 无穷大与无穷小的
关系 35
习题2.3 36
2.4 函数的极限 36
2.4.1 函数极限的四则
运算法则 36
2.4.2 复合函数极限的
运算法则 38
习题2.4 39
2.5 极限的存在准则及两个
重要极限 40
2.5.1 极限的存在准则 40
2.5.2 两个重要极限 43
习题2.5 46
2.6 无穷小的比较 47
习题2.6 49
2.7 函数的连续性 49
2.7.1 函数的连续性 49
2.7.2 连续函数的运算与
初等函数的连续性 51
2.7.3 函数的间断点 53
2.7.4 闭区间上连续函数的
性质 54
习题2.7 55
习题2 56
第3章 导数与微分 60
3.1 导数的概念 60
3.1.1 引例 60
3.1.2 导数的定义 61
3.1.3 单侧导数 63
3.1.4 导数的几何意义 64
3.1.5 函数的可导性与
连续性的关系 64
习题3.1 65
3.2 函数的求导法则 66
3.2.1 导数的四则运算法则 66
3.2.2 反函数的导数 68
3.2.3 复合函数的求导法则 69
3.2.4 初等函数求导法则
小结 71
习题3.2 71
3.3 高阶导数 72
3.3.1 高阶导数的定义 72
习题3.3 75
3.4 隐函数及由参数方程所确定
的函数的导数 75
3.4.1 隐函数求导 75
3.4.2 由参数方程所确定的
函数的导数 77
习题3.4 78
3.5 函数的微分 79
3.5.1 微分的定义 79
3.5.2 微分的几何意义 81
3.5.3 微分的运算法则及基本
初等函数的微分公式 81
3.5.4 微分在近似计算中的
应用 84
习题3.5 85
3.6 边际分析和弹性分析 85
3.6.1 边际分析 85
3.6.2 弹性分析 87
习题3.6 89
习题3 90
第4章 微分中值定理与导数的应用 93
4.1 微分中值定理 93
习题4.1 97
4.2 洛必达法则 97
4.2.1 型未定式 98
4.2.2 型未定式 100
4.2.3 其他类型的未定式
（、、、
、） 102
习题4.2 103
4.3 泰勒公式 104
习题4.3 108
4.4 函数的单调性与极值 108
4.4.1 函数的单调性 108
4.4.2 函数的极值 111
习题4.4 114
4.5 最优化问题 114
4.5.1 闭区间上连续函数的
最值 114
4.5.2 在经济学中的应用
举例 116
习题4.5 117
4.6 曲线的凹凸性与拐点 117
4.6.1 曲线的凹凸性 117
习题4.6 120
4.7 函数图形的描绘 120
4.7.1 曲线的渐近线 120
4.7.2 函数图形的描绘 122
习题4.7 123
习题4 124
第5章 不定积分 127
5.1 不定积分的概念与性质 127
5.1.1 原函数 127
5.1.2 不定积分的概念 128
5.1.3 基本积分表 129
5.1.4 不定积分的性质 129
习题5.1 131
5.2 换元积分法 131
5.2.1 第一类换元法
（凑微分法） 131
5.2.2 第二类换元法 134
习题5.2 138
5.3 分部积分法 139
习题5.3 142
5.4 有理函数及可化为有理
函数的积分 143
5.4.1 有理分式的分解 143
5.4.2 有理函数的积分 145
5.4.3 可化为有理函数的
积分 146
习题5.4 148
习题5 149
第6章 定积分 151
6.1 定积分概念与性质 151
6.1.1 定积分问题举例 151
6.1.2 定积分的定义 153
6.1.3 定积分的几何意义 154
6.1.4 定积分的性质 154
习题6.1 157
6.2 微积分学基本公式 157
6.2.1 积分上限的函数及其
导数 158
6.2.2 微积分学基本公式 159
习题6.2 160
6.3 定积分的换元积分法和分部
积分法 161
6.3.1 换元积分法 161
6.3.2 定积分的分部积分法 164
习题6.3 166
6.4 定积分的应用 167
6.4.1 定积分的微元法 167
6.4.2 平面图形的面积 168
6.4.3 旋转体的体积 171
6.4.4 平行截面面积为已知的
立体体积 173
6.4.5 定积分在经济学中的
应用举例——由边际
函数求总函数 174
习题6.4 175
6.5 反常积分 175
6.5.1 无穷区间上的
反常积分 176
6.5.2 无界函数的反常积分 178
习题6.5 180
习题6 180
第7章 多元函数微分学 184
7.1 空间解析几何初步 184
7.1.1 空间直角坐标系 184
7.1.2 空间中两点间的距离 185
7.1.3 空间曲面与空间曲线 185
习题7.1 190
7.2 多元函数及其极限 190
7.2.1 平面点集的概念 190
7.2.2 多元函数的概念 192
7.2.3 多元函数的极限 193
7.2.4 多元函数的连续性 195
习题7.2 196
7.3 偏导数与全微分 197
7.3.1 偏导数的定义及
计算法 197
7.3.2 偏导数的几何意义 200
7.3.3 高阶偏导数 200
7.3.4 全微分 201
习题7.3 205
7.4 多元复合函数与隐函数的
微分法 206
7.4.1 多元复合函数微分法 206
7.4.2 全微分形式不变性 210
7.4.3 隐函数微分法 210
习题7.4 213
7.5 多元函数的极值及其应用 214
7.5.1 二元函数的极值 214
7.5.2 二元函数的最大值与
最小值 216
7.5.3 条件极值与拉格朗日
乘数法 217
习题7.5 220
习题7 221
第8章 二重积分 224
8.1 二重积分的概念与性质 224
8.1.1 二重积分的概念 224
8.1.2 二重积分的性质 226
习题8.1 227
8.2 直角坐标系下二重积分的
计算 228
8.2.1 直角坐标系下二重
积分的计算 228
8.2.2 交换二次积分顺序 232
8.2.3 利用对称性和奇偶性
化简二重积分的计算 233
8.2.4 二重积分的几何应用 234
习题8.2 235
8.3 极坐标系下二重积分的计算 236
习题8.3 239
习题8 239
第9章 无穷级数 242
9.1 常数项级数的概念和性质 242
9.1.1 常数项级数的概念 242
9.1.2 常数项级数的基本
性质 245
习题9.1 247
9.2 常数项级数的审敛法 248
9.2.1 正项级数及其审敛法 248
9.2.2 交错级数及其审敛法 254
9.2.3 绝对收敛与条件收敛 255
习题9.2 257
9.3 幂级数 258
9.3.1 函数项级数的概念 258
9.3.2 幂级数及其收敛性 260
习题9.3 265
9.4 函数展开为幂级数 266
9.4.1 泰勒级数 266
9.4.2 函数展开为幂级数 268
习题9.4 271
9.5 级数的应用 271
9.5.1 农夫分牛问题 271
9.5.2 近似计算 272
9.5.3 经济中的应用 274
习题9.5 276
习题9 276
第10章 微分方程与差分方程 279
10.1 微分方程的基本概念 279
10.1.1 引例 279
10.1.2 基本概念 279
习题10.1 282
10.2 一阶微分方程 282
10.2.1 可分离变量的微分
方程 282
10.2.2 齐次方程 284
10.2.4 一阶线性微分方程 286
习题10.2 289
10.3 高阶微分方程 289
10.3.1 几类可降阶的高阶微分
方程 289
10.3.2 二阶线性微分方程解的
性质与结构 291
10.3.3 二阶常系数线性微分
方程的解法 294
习题10.3 301
10.4 差分方程的基本概念 302
10.4.1 差分的概念与性质 302
10.4.2 差分方程的概念 303
习题10.4 304
10.5 一阶和二阶常系数线性差分
方程 305
10.5.1 一阶常系数线性差分
方程 305
10.5.2 二阶常系数线性差分
方程 308
10.5.3差分方程在经济中的
应用 310
习题10.5 313
习题10 314
附录 微积分运算命令与例题 316