《线性代数》是一本入门级教材，以线性方程组为切入点，围绕向量空间与线性映射这一主线，系统讲解矩阵代数、行列式、特征值、内积空间、二次型及奇异值分解等核心内容。本书注重与中学知识的衔接，通过实例引导抽象概念，强调矩阵作为线性变换工具的统一性，从基变换视角阐释标准形与矩阵分类，帮助学生构建整体认知。针对非数学专业需求，本书简化了抽象理论（如线性空间），将其转化为探究习题，侧重应用能力培养，采用“理论+实践”的习题设计，强化算法与问题解决能力。适用于不同课时安排：5学时可覆盖全书，4学时可跳过部分进阶内容（如正交子空间、奇异值分解），3学时可完成前五章基础教学。本书适合高校理工科师生及工程研究人员参考，兼具理论深度与实用价值。本书作为华东师范大学公共基础课教材。

傅蔚，本科与硕士就读于上海大学，2018年获英国利兹大学博士学位，现为华东师范大学数学科学学院副教授，研究方向为可积系统。先后主持多项国家级与省部级科研项目，入选上海市浦江人才计划，曾获上海市自然科学三等奖。主讲《高等数学》与《线性代数》等本科生课程，曾获上海教育发展基金会申万宏源奖教金，华东师范大学本科教学优秀奖、青年教师教学比赛一等奖等。主持完成上海高校市级重点课程项目《线性代数A》以及华东师范大学本科在线开放课程项目《大学数学预备知识选讲》，参与建设的课程《高等数学A》入选上海高校市级一流课程。

**目录** **第一章 预备知识** 1.1 线性方程组与矩阵消元法 1.1.1 二元一次方程组 1.1.2 线性方程组的矩阵消元法 1.1.3 齐次与非齐次线性方程组 习题1.1 1.2 向量空间与线性相关性 1.2.1 平面向量 1.2.2 m维向量与向量空间R^m 1.2.3 线性相关性 习题1.2 1.3 线性映射与矩阵 1.3.1 平面向量的线性变换 1.3.2 矩阵诱导的线性映射 1.3.3 常见矩阵 习题1.3 **第二章 矩阵** 2.1 函数的运算 2.2 矩阵的运算 2.2.1 加法与数乘 2.2.2 乘法 2.2.3 方幂 2.2.4 转置 习题2.2 2.3 矩阵的逆 2.3.1 可逆矩阵 2.3.2 初等矩阵 2.3.3 矩阵可逆的判别与逆矩阵的计算 习题2.3 2.4 分块矩阵 2.4.1 矩阵的分块表示 2.4.2 加法与数乘 2.4.3 乘法 2.4.4 转置 2.4.5 分块对角与反对角矩阵 2.4.6 分块初等变换 习题2.4 **第三章 子空间与矩阵的秩** 3.1 三元线性函数与空间平面 3.2 向量空间的子空间 3.2.1 子空间的定义 3.2.2 四类基本子空间 3.2.3 基、维数与坐标 习题3.2 3.3 极大线性无关组与秩 3.3.1 极大线性无关组 3.3.2 向量组的线性表示与线性等价 3.3.3 向量组的秩 习题3.3 3.4 基与维数 3.4.1 生成子空间的基与维数 3.4.2 基的存在性与维数的唯一性 3.4.3 基变换与坐标变换 习题3.4 3.5 矩阵的秩 3.5.1 列秩与行秩 3.5.2 秩与矩阵运算 习题3.5 3.6 矩阵的相抵标准形 3.6.1 初等变换下的标准形 3.6.2 相抵关系与不变量 3.6.3 矩阵相抵与向量组线性等价 习题3.6 3.7 线性方程组的解集 3.7.1 零空间与齐次线性方程组的解集 3.7.2 非齐次线性方程组的解集 习题3.7 **第四章 行列式** 4.1 2阶行列式的几何意义 4.2 行列式函数 4.2.1 行列式函数的公理化定义 4.2.2 行列式函数的逆序数定义 4.2.3 初等列变换下的行列式性质 4.2.4 行与列的对等 4.2.5 方阵运算下的行列式性质 4.2.6 行列式按一行（列）展开 习题4.2 4.3 伴随矩阵与Cramer法则 4.3.1 伴随矩阵 4.3.2 Cramer法则 习题4.3 4.4 行列式的子式 4.4.1 行列式按k行（列）展开 4.4.2 子式与矩阵的秩 习题4.4 **第五章 特征值与特征向量** 5.1 平面上伸缩变换的特征 5.2 方阵的特征值与特征向量 5.2.1 特征值问题 5.2.2 特征值与特征向量的性质 5.2.3 迹与行列式 习题5.2 5.3 方阵的对角化 5.3.1 可对角化的方阵 5.3.2 可对角化的判别 习题5.3 5.4 方阵的相似标准形 5.4.1 Jordan标准形 5.4.2 相似关系与不变量 习题5.4 **第六章 正交性** 6.1 平面向量的数量积 6.2 内积空间 6.2.1 内积函数 6.2.2 度量与角度 6.2.3 正交与投影 习题6.2 6.3 正交向量组与Gram-Schmidt正交化 6.3.1 正交向量组 6.3.2 Gram-Schmidt正交化 习题6.3 6.4 正交基与正交矩阵 6.4.1 子空间的正交基 6.4.2 正交矩阵 习题6.4 6.5 正交子空间与正交投影 6.5.1 子空间的正交性 6.5.2 正交分解与最佳逼近 6.5.3 最小二乘问题 习题6.5 **第七章 实对称矩阵** 7.1 二次函数的标准形 7.2 对称双线性函数与实对称矩阵 7.2.1 对称双线性函数 7.2.2 实对称矩阵的对角化 7.2.3 正交相似关系与不变量 习题7.2 7.3 实对称矩阵的合同标准形 7.3.1 合同标准形 7.3.2 合同关系与不变量 7.3.3 正交相似标准形与对角形中的合同不变量 习题7.3 7.4 实二次型与标准形 7.4.1 实二次型与实对称矩阵 7.4.2 实二次型的正交相似标准形与合同标准形 7.4.3 标准实二次型与配方法 习题7.4 7.5 实二次型的定值性 7.5.1 正定矩阵 7.5.2 其他定值矩阵 7.5.3 定值性的主子式判别法 习题7.5 **第八章 奇异值分解** 8.1 标准形诱导的矩阵分解 8.2 实矩阵的奇异值分解 8.2.1 奇异值问题与奇异值分解 8.2.2 奇异值分解的应用 习题8.2 **参考文献**