本书旨在对数学分析教材进行深度补充，系统剖析了三角函数与指数函数的严格定义、集合基数、e与π的无理性及超越性、最速降线、椭圆积分及高斯函数不可积等常被一笔带过的重要问题。书中内容编排简短精炼，力求在有限篇幅内完整呈现证明脉络，不额外增加学习负担。各知识点与常规教学顺序同步且相对独立，便于学生按需选读。本书不仅能深化读者对数分核心概念与方法的领悟，更通过介绍Euler-Maclaurin常数、Riemann zeta函数及深度神经网络等前沿关联，拓宽本科生学术视野，助力各类选拔性考试。

张海樟，中山大学珠海校区数学学院教授。现任中山大学逸仙学者、 校学术委员会理科分委会委员。研究方向为应用调和分析、机器学习的数学基础，已发表SCI论文五十余篇。长期从事数学分析、泛函分析、实变函数等课程的教学。2012年获首届国家自然科学基金优秀青年基金。 2013年获广东省优秀青年教师。 2014年获广东特支计划百千万工程青年拔尖人才。

目录 1 第一个无理数 2 集合 3 数域 4 指数函数和三角函数的严格定义 5 线性递推数列和常系数齐次常微分方程 6 算术-几何均值不等式的初等证明 7 集合的基数 8 常数e和π的无理性和超越性 9 Euler-Mascheroni常数 10 最速降线问题 11 数列极限的Stolz定理 12 凸函数的Jensen不等式及其应用 13 不定积分不可积问题 14 代数基本定理 15 求和公式1^s+2^s+…+n^s及其在古典积分中的应用 16 椭圆的周长和椭圆积分 17 实数基本定理的等价性 18 数列的上下极限和等度分布定理 19 等周问题 20 压缩映射与不动点原理 21 无穷乘积 22 Wallis公式 23 Stirling公式 24 处处连续却处处不可导的函数 25 Bernoulli数 26 Basel问题和Riemann Zeta函数在正整数点上的值 27 一个恒等式 28 Weierstrass逼近定理和Bernstein多项式 29 行星绕恒星的运动轨迹 30 不可求长曲线和空间填充曲线 31 快速Fourier变换 32 Dirichlet问题 33 Shannon采样定理 34 Hilbert不等式 35 深度神经网络