本书共分六章。第一章不仅总结了线性代数的主要知识，还增加了矩阵的张量积与求解矛盾方程的最小二乘法（LSM）等内容。第二章讨论了线性空间与线性变换的结构和构造方法，以及有限维线性空间与 F? 的关系、线性变换与矩阵的关系，特别强调了线性空间的商空间和张量积以及内积空间与等距变换。第三章证明了 Schur 三角化定理，并利用幂零矩阵给出了 Jordan 标准形定理的一个简洁证明，同时讨论了特征值估计的盖尔圆盘定理，并介绍了特征值与特征向量的一些应用。第四章介绍了几种重要的矩阵分解方法及其应用，特别强调了奇异值分解（SVD）的应用。第五章介绍了如何在线性空间中引入度量（范数），并由此导入矩阵微积分及其应用。第六章介绍了几种常用的广义逆与非负矩阵的 Perron–Frobenius 定理及其应用。书后附有参考文献和汉英术语索引，便于读者查询。

张跃辉，上海交通大学数学科学学院教授。主要研究方向为代数表示论、有序代数结构、矩阵理论等。先后讲授“高等代数与空间解析几何”“矩阵理论与应用”等课程，已出版教材四部。

主要符号表 i 第一章 线性代数概要 1 本章提要 1 第一节 矩阵运算 3 1.1.1 线性组合与矩阵乘法 3 1.1.2 数字特征与分块矩阵 6 1.1.3 张量积与线性矩阵方程 11 第二节 矩阵与线性方程组 15 1.2.1 相容线性方程组与矩阵子空间 15 1.2.2 矛盾方程组与最小二乘法 21 1.2.3 正交化方法与投影矩阵 24 第三节 相似对角化与特征值 27 1.3.1 线性微分方程组与相似对角化 27 1.3.2 特征值与特征向量 29 1.3.3 正交对角化与二次型 37 第四节 应用 41 1.4.1 图与矩阵 41 1.4.2 随机变量的独立性 43 1.4.3 曲线拟合 44 1.4.4 华为核心技术极化码 48 习题一 49 第二章 线性空间与线性变换 57 本章提要 57 第一节 线性空间 57 2.1.1 定义与例子 57 2.1.2 基、维数、坐标 61 2.1.3 线性空间的同构 65 2.1.4 过渡矩阵与坐标变换 67 第二节 子空间、直和分解与分块矩阵 69 2.2.1 子空间 69 2.2.2 子空间的运算: 交、和与直和 71 2.2.3 直和分解与分块矩阵 76 第三节 线性变换与矩阵 77 2.3.1 线性变换的定义与例子 77 2.3.2 线性变换的核与像 83 2.3.3 线性变换的矩阵 86 第四节 线性代数基本定理 89 第五节 内积空间、投影与等距变换 95 2.5.1 内积与长度 95 2.5.2 内积与正定矩阵 100 2.5.3 正交补与投影 105 2.5.4 酉矩阵与等距变换 109 第六节 张量积 119 2.6.1 线性空间的 (外) 直和 119 2.6.2 线性空间的张量积 123 2.6.3 线性变换的张量积 124 2.6.4 实线性空间与复线性空间的转化 126 第七节 商空间 128 2.7.1 等价关系 128 2.7.2 商空间与张量积 130 第八节 应用 136 2.8.1 广义才对T 136 2.8.2 滤波与移动通信 137 2.8.3 度量与任意矩阵的行列式 140 习题二 141 第三章 Jordan 标准形与特征值问题 151 本章提要 151 第一节 Schur 三角化定理 151 3.1.1 Schur 酉三角化定理 151 3.1.2 分块 Schur 三角化定理 154 3.1.3 酉三对角化定理 155 第二节 Jordan 标准形 158 3.2.1 幕零矩阵的 Jordan 标准形 158 3.2.2 Jordan 标准形定理 165 3.2.3 中国剩余定理与 Jordan-Chevalley 分解 169 第三节 Jordan 标准形的其他理论 172 3.3.1 λ 矩阵 172 3.3.2 广义特征子空间 175 第四节 特征值估计 178 3.4.1 盖尔圆盘定理 178 3.4.2 特征值的极值与不等式 187 第五节 应用 190 3.5.1 随机矩阵 191 3.5.2 PageRank 算法 194 习题三 195 第四章 矩阵分解与应用 203 本章提要 203 第一节 正规矩阵与谱分解 203 4.1.1 正规矩阵 203 4.1.2 正规矩阵的谱分解 206 4.1.3 单纯矩阵的谱分解 210 第二节 三角分解与 Cholesky 分解 215 4.2.1 三角分解 215 4.2.2 Cholesky 分解 217 第三节 QR 分解 220 第四节 奇异值分解与极分解 223 4.4.1 奇异值分解 223 4.4.2 极分解 231 第五节 应用 233 4.5.1 QR 分解的应用 233 4.5.2 奇异值分解的应用 236 习题四 238 第五章 赋范线性空间与矩阵微积分 243 本章提要 243 第一节 赋范线性空间 243 5.1.1 赋范线性空间 243 5.1.2 单位球与范数的等价 251 第二节 赋范矩阵空间 256 第三节 矩阵级数与矩阵函数 262 5.3.1 矩阵的幕收敛 262 5.3.2 矩阵级数 267 5.3.3 矩阵函数 272 第四节 一元矩阵函数的微积分 277 5.4.1 定义与基本性质 277 5.4.2 一元矩阵函数的计算 281 第五节 多元矩阵函数的导数 287 5.5.1 多元矩阵函数的导数与 Jacobian 行列式 287 5.5.2 多元矩阵函数导数的应用 298 第六节 应用 I: 范数与矩阵近似 299 5.6.1 低秩近似与 Schmidt-Eckart-Young-Mirsky 定理 299 5.6.2 核范数与矩阵完备化 301 第七节 应用 II: 矩阵函数的导数与常微分方程组 302 5.7.1 线性常微分方程组 302 5.7.2 线性系统的可控性与可测性 312 习题五 320 第六章 广义逆矩阵与非负矩阵 328 本章提要 328 第一节 广义逆矩阵 328 6.1.1 Moore-Penrose 广义逆 328 6.1.2 Moore-Penrose 广义逆的计算 333 第二节 其他各类广义逆 338 6.2.1 {1} 逆 338 6.2.2 {(1, k)} 逆, k = 2, 3, 4 346 第三节 非负矩阵与 Perron-Frobenius 定理 350 6.3.1 Perron-Frobenius 定理 350 6.3.2 应用: 投入产出模型与商品定价理论 353 第四节 广义逆矩阵的应用 356 6.4.1 线性方程组的解的符号表示 356 6.4.2 网络流量矩阵估算 361 习题六 362 附录 上海交通大学 2015—2016 学年第一学期“矩阵理论” 试题 368 参考文献 371 索引 373