本书为网络空间安全相关专业本科生和研究生的教材，从网络空间安全的数学理论和应用实例两个角度出发，一方面，介绍所涉及的数学基础理论和方法，包括初等数论、抽象代数、椭圆曲线、矩阵、赋范空间中向量的比较、最优化与转移概率矩阵等；另一方面，强调理论在网络空间安全中的具体应用。本书体系结构完整，实践性强，章节最后设计了习题，可供学生巩固所学。另外，本书还配套丰富的教学资源，方便教师授课与学生自学。本书也可作为网络空间安全从业人员的参考书。

曾勇，博士，西安电子科技大学网络与信息安全学院副教授。长期从事网络与信息安全研究，涉及的研究领域包括无线网络安全、IoT安全、物理层安全、安全芯片设计与分析等。先后承担/参与了自然基金的青年、面上和重点项目，863计划、科技部重大专项、重点研发、国家电网科技等科研项目的研究工作。结合研究工作在ACM Trans on Privacy and Security、IEEE Wireless Communications、IEEE IoT Journal、IEEE Network、IEEE ICC、IEEE GLOBECOM、ACM CIKM等国内外主流期刊和会议发表论文多篇。在IJCAI 2020举办的首届网络流量分类大赛(NetML 2020)中，获得Winner-赛道7，Runner Up-赛道1到6。无线IP网络中关键安全技术及其应用，获得中国通信标准化协会科学技术二等奖，高可靠异构互联航空监测网络技术及应用，获得中国航空学会科学技术一等奖，Gbps级高速密码芯片关键技术与应用获国家电网有限公司科技进步一等奖。

第1章 矩阵 1
1.1 线性问题矩阵化 1
1.2 线性方程组解的两个视角 4
1.2.1 矩阵乘法的几何意义 4
1.2.2 矩阵的列空间 5
1.3 列主元高斯消元法 9
1.4 矩阵的LU分解 11
1.5 最小二乘法与正规方程组 13
1.6 矩阵的秩-1分解 18
习题 26
第2章 范数、距离与相似度 27
2.1 向量的范数 27
2.2 矩阵的范数 29
2.3 向量范数与矩阵范数的相容性 30
2.4 距离 31
2.5 相似度 34
2.6 量纲归一化 44
习题 46
第3章 最优化理论与方法 47
3.1 凸集和凸函数 47
3.2 最优化方法的基本结构 50
3.3 最优化方法解的充分/必要条件 51
3.4 拉格朗日乘子法 54
3.5 步长因子的选取 55
3.6 搜索方向的选取 60
3.7 线性方程组的迭代求解法 66
3.7.1 雅可比与高斯-赛德尔迭代法 66
3.7.2 逐次超松弛迭代法 68
3.7.3 最优化法 69
习题 72
第4章 概率论 73
4.1 概率论的基本概念 73
4.2 常用随机变量及其分布 77
4.3 最大似然估计 82
4.4 散列法与Bloom过滤器 83
4.4.1 生日悖论 83
4.4.2 散列法 84
4.4.3 Bloom过滤器 85
4.5 贝叶斯推理 88
4.5.1 朴素贝叶斯决策论 88
4.5.2 朴素贝叶斯分类步骤 89
4.6 信息熵与决策树 93
4.6.1 信息熵 93
4.6.2 信息熵与决策树分类 97
4.7 差分隐私基础 102
4.8 随机几何理论 106
4.8.1 基本概念 106
4.8.2　空间点过程 107
4.8.3　空间点过程的性质 108
习题 112
第5章　状态转移概率矩阵 114
5.1　随机过程的基本概念 114
5.2 马尔可夫过程 116
5.3 离散时间马尔可夫链的性质 120
5.3.1 互通性 120
5.3.2 不可约性 121
5.3.3 周期性 122
5.3.4 常返性 123
5.3.5 遍历性 123
5.3.6 稳定状态分布 125
5.4　PageRank与状态转移概率矩阵 126
5.5 隐马尔可夫模型 132
5.5.1 隐马尔可夫模型的三要素与三
假设 133
5.5.2 隐马尔可夫模型的3个经典
问题 135
习题 146
第6章 整数与同余 148
6.1 整数与带余数除法 148
6.2 最大公因数 151
6.3 欧几里得算法 152
6.4 整数分解 154
6.5 同余 157
6.6 线性同余式 160
6.7 中国剩余定理 162
6.8 威尔逊定理、费马小定理与欧拉定理 163
6.9 扩展阅读 165
习题 169
第7章 数论函数 172
7.1 积性函数 172
7.2 除数函数 172
7.3 高斯函数 174
7.4 欧拉函数 176
7.5 莫比乌斯函数 178
7.6 默森尼数、费马数 180
7.7 扩展阅读 182
习题 182
第8章 二次剩余 184
8.1 二次剩余的基本概念 184
8.2 勒让德符号 185
8.3 高斯二次互反定律 188
8.4 雅可比符号 189
8.5 二次同余式的解法和解数 193
8.6 扩展阅读 195
习题 197
第9章 原根与指数 199
9.1 整数的阶 199
9.2 原根的基本概念 201
9.3 原根的存在性 204
9.4 原根的求解 207
9.5 指数 208
习题 211
第10章 群、环、域 212
10.1 群的定义 212
10.2 子群、陪集与拉格朗日定理 215
10.3 群同态 218
10.4 环与域 225
10.5 多项式环 229
10.6 整环中的因子分解 231
10.7 由整环构造域 236
10.8 扩展阅读 240
习题 241
第11章 有限域 243
11.1 有限域的加法结构 243
11.2 有限域的乘法结构 244
11.3 本原元 247
11.4 最小多项式与本原多项式 250
11.5 扩展阅读 255
习题 260
第12章 椭圆曲线基础 261
12.1 椭圆曲线上的群运算 261
12.2 椭圆曲线上的离散对数 264
习题 266
第13章 模 267
13.1 模 267
13.2 子模的直和 268
13.3 模的生成集与自由模 269
13.4 商模和模同态 271
13.5 域与环上的矩阵 272
13.6 主理想整环上的矩阵与模 276
习题 282
参考文献 283