本书系统展示了线性代数的宏大知识体系，深刻而清晰地讲解了线性代数相关概念与知识点，搭建了通往现代数学的大门。全书包含线性方程组、数域、向量空间、线性映射、矩阵、整数与多项式、内积空间、线性映射的分解、矩阵分解二次型、行列式等内容。为适应现代数学发展，本书还撰写了张量代数、外代数章节。对于每一个章节板块，都系统性地梳理相关概念并做了知识延伸。譬如，关于“秩”的概念，将以下概念串联起来：线性方程组的秩、矩阵的行秩、列秩、矩阵的秩；矩阵分解章节，叙述了QR分解、谱定理、奇异值分解、Jordan分解等十多种分解定理；行列式章节，从determinant的词源含义出发，结合计算机与基础代数学的群论角度去刻画其定义，同时论证了难度较大的Binet-Cauchy公式与Laplace公式。本书提供了大量的实例，让读者可以触碰概念背后的温度。同时，每个概念都提供严格的英文对照，中英文索引可帮助读者快速定位知识点、查找资料！这是一本可以陪伴终生的教科书，适合广大理工科同学及数学爱好者反复阅读，同时也可作为一本教师手册，为开拓学生视野、教学改革等提供知识经验！

王前豹厦门大学计算机专业学士，上海大学基础数学专业硕士。曾先后任职于中国外运物流发展有限公司、安徽移动通信有限公司，现任南京邮电大学通达学院讲师。主要从事数学教学与相关领域研究，已发表学术论文3篇，参与国家自然科学基金面上项目“量子群与量子代数的模及其相关理论”，出版学术专著《数学拾光：线性代数漫步》，荣获南京邮电大学第三届“课程思政”教学比赛特等奖。江苏省普通高等学校高等数学竞赛优秀指导教师。

第1章 从线性方程组谈起1
1.1 生活中的线性关系
1.2 线性方程组
1.3 线性方程组的矩阵表示
1.4 几何视角下的线性方程组
第2章 向量空间11
2.1 实数集上的向量空间
2.2 数集的扩充
2.3 一般数域上的向量空间
2.4 线性相关、线性无关、线性张成
2.5 向量空间的基和维数
2.6 子空间
2.7 子空间的和及维数公式
2.8 商集与商空间
第3章 线性方程组的解43
3.1 线性方程组的秩
3.2 齐次线性方程组的解空间
3.3 向量组的秩及矩阵的行秩、列秩
3.4 非齐次线性方程组的解集
3.5 补充概念
第4章 线性映射60
4.1 二元对立统一
4.2 映射
4.3 线性映射
4.3.1 平面R2上的旋转
4.3.2 空间R3上的投影
4.3.3 多项式空间R[x]上的求导
4.4 线性映射的加法、乘法与数乘
4.5 线性同构
第5章 线性映射的表示及矩阵的运算75
5.1 线性映射的矩阵表示
5.2 矩阵的运算
5.2.1 矩阵的加法
5.2.2 矩阵的数乘
5.2.3 矩阵的乘法
5.3 矩阵运算的规律
5.4 研究线性映射的利器
5.5 矩阵乘法的其他视角
5.5.1 视角二（分块矩阵及其乘法）
5.5.2 视角三
5.5.3 视角四
5.5.4 视角五
5.5.5 视角六
5.5.6 视角七
5.5.7 视角八
5.5.8 视角九
5.6 最简代数系统——群
第6章 线性变换的对角化98
6.1 矩阵的简化
6.1.1 简化线性方程组
6.1.2 简化二次曲面方程
6.1.3 简化线性映射的矩阵表示
6.2 特征向量、特征子空间、不变子空间
6.3 基变换
6.4 线性变换的三角化与对角化
6.5 线性变换的可三角化条件
6.6 线性变换可对角化条件之一
6.7 子空间的直和
6.8 线性变换可对角化条件之二
第7章 线性变换的特征多项式126
7.1 线性变换的多项式
7.2 核空间与像空间
7.3 复线性变换的上三角化
7.4 复线性变换的特征多项式
7.5 实线性变换的三角化
7.6 实线性变换的特征多项式
7.6.1 低维实线性变换的特征多项式
7.6.2 高维实线性变换的特征多项式
7.7 线性变换可对角化条件之三
7.8 Hamilton-Cayley定理
第8章 整数与多项式172
8.1 多项式
8.2 多项式的整除关系
8.3 最大公因式与最小公倍式
8.4 实数域上的不可约多项式
8.5 复数域上的不可约多项式
8.6 有理数域上的多项式
8.7 重因式
8.8 中国剩余定理
第9章 数学基础知识：矩阵209
9.1 矩阵的运算
9.2 矩阵的正则映射与正则约定
9.3 矩阵的特征值与特征向量
9.4 矩阵的最小多项式
9.5 特殊矩阵
9.6 矩阵的秩
9.7 矩阵的迹
9.8 相似矩阵
9.9 矩阵的合同
9.1 矩阵的相抵
9.11 矩阵的分解
9.11.1 可逆矩阵的初等分解
9.11.2 LU分解
9.11.3 QR分解
9.11.4 谱定理
9.11.5 SVD分解
9.11.6 极分解
9.11.7 Jordan分解
9.11.8 Schur分解
9.11.9 Cholesky分解、LDL分解
9.11.10 Hessenberg分解、Householder变换
9.11.11 Hermite分解
9.11.12 Smith分解
9.11.13 其他分解
第10章 线性变换可对角化与最小多项式的关系297
10.1 线性变换的最小多项式
10.2 线性变换可对角化与最小多项式的关系
10.3 同时三角化、同时对角化
第11章 实内积空间314
11.1 Rn中向量的长度
11.2 R3上的点积
11.3 双线性函数
11.3.1 度量矩阵
11.3.2 双线性型的分类
11.4 范数空间
11.5 内积与全范数的关系
11.6 欧几里得空间
11.6.1 Rn
11.6.2 标准正交基、Gram-Schmidt正交化
11.6.3 欧几里得空间的同构
11.6.4 勾股定理
11.6.5 Cauchy-Schwarz不等式
11.6.6 正交补、正交投影
11.6.7 正交变换
11.6.8 正交变换的对角化
第12章 复内积空间358
12.1 寻找复内积
12.2 复内积的度量矩阵
12.3 复向量空间上的范数
12.4 标准正交基
12.5 标准复内积空间Cn
12.6 基变换
12.7 正交投影
12.8 酉变换
12.9 伴随变换、正规变换、自伴变换
12.1 谱定理
12.11 补充概念
12.11.1 辛型与辛空间
12.11.2 Gram矩阵
12.11.3 Cayley变换
12.11.4 Pauli矩阵
12.11.5 吉文斯变换
12.11.6 其他
第13章 线性映射的分解395
13.1 极分解
13.1.1 起源
13.1.2 正规变换的极分解
13.1.3 可逆变换的极分解
13.1.4 线性变换的极分解
13.2 奇异值分解
13.3 Jordan分解
13.4 Jordan-Chevalley分解
13.5 Schur分解
13.6 Hessenberg分解
第14章 二次型436
14.1 二次曲线的形状
14.2 二次曲面的形状
第15章 数学基础知识：行列式443
15.1 行列式的起源
15.2 行列式的基本性质
15.3 行列式的本质
15.4 行列式相关符号
15.5 Binet-Cauchy公式
15.6 Laplace定理
15.7 置换与逆序
15.8 特征多项式的行列式表示
15.9 特殊行列式
第16章 张量简析486
16.1 对偶空间
16.2 不依赖于基的同构
16.3 线性函数的张量积
16.4 向量空间的张量积
16.5 V?U和U?V的自然同构
16.6 向量空间基域的扩张
16.7 线性变换的张量积
16.8 多重线性映射
16.9 对称代数
第17章 线性代数的应用522
17.1 不动点定理
17.2 最小二乘解
17.3 不等式
17.4 求数列通项
17.5 因式分解
17.6 空间曲线的切线及法平面
17.7 点到平面的距离
17.8 点到直线的距离
17.9 直线到直线的距离
17.1 Menelaus定理与Ceva定理
17.11 杂例集锦
附录A 代数基本定理的证明548
索引 550