本书分为三大篇：第一篇为常微分方程数值解，包含了2章内容，分别介绍了常微分方程初值问题的理论基础和数值方法；第二篇为偏微分方程数值解，包含了6章内容，分别介绍了常用的有限差分、谱方法和有限元方法；第三篇为分数阶微分方程数值解，包含了3章内容，介绍了分数阶微积分的相关理论和算法、分数阶的常微分方程和分数阶的偏微分方程数值解法。本书的内容比较全面，基本涵盖了"微分方程数值解"常用的各种方法，将数学理论、数值方法与应用有机地结合起来，并以生动详细的实例为载体，较为详细的介绍了不同方法如何运用于不同的方程。本书可以作为普通高等院校研究生、本科生的"微分方程数值解"课程的教材，根据不同层次所需的教学学时数选择相应的教学内容；同时也可以作为科研工作者应用数学方法来解决实际问题的参考书。

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本书是为普通高等院校的研究生、大学生学习“微分方程数值解”这门课编写的教学参考书，华南农业大学从2005年开始设置“微分方程数值解”这门课程，选修该课程的学生来自理、工、农、林、经、文等多个不同学科，这些学生的数学基础和计算机知识参差不齐，面对这种实际问题，我们在实际教学过程中一直在思考：如何教才能满足各类学生学以致用的实际需求，什么样的教材能有很好的实用性和很强的针对性，从而能够进一步培养和提高学生应用数学解决实际问题的能力。面对这些存在的实际问题和所教学生的具体情况，我们从2005年开始尝试编写适用不同层次学生的“微分方程数值解”的讲义，在校内使用。在使用过程中历经多次修改，逐步完善，最终形成了这本书。
　　在本书编写过程中，我们广泛地参考了国内外许多“微分方程数值解”的文献和专著，吸取了国内外许多学者和专家研究的新成果，结合自己的教学和科研的实际情况，做到取长补短。本书的内容比较全面，基本涵盖了“微分方程数值解”常用的各种方法，将数学理论、数值方法与应用有机地结合起来，并以生动详细的实例为载体，较为详细地介绍不同方法如何运用于不同的方程，
　　在教材具体内容的选取上，我们做了精心设计，以便于读者尽快熟悉微分方程数值解的基本理论，并能结合实际算法，使读者能在较短的时间里学会这些方法的基本概念以及求解方法，尽快能用于解决实际问题，本书分为三大篇：第1篇为常微分方程数值解，包含了两章内容，分别介绍了常微分方程初值问题的理论基础和数值方法；第2篇为偏微分方程数值解，包含了六章内容，分别介绍了常用的有限差分、谱方法和有限元方法；第3篇为分数阶偏微分方程数值解，包含了三章内容，介绍了分数阶微积分的相关概念及算法、分数阶常微分方程和分数阶偏微分方程数值解解法。

目录
前言
第1篇常微分方程数值解
引言3
第1章常微分方程初值问题的理论基础4
第2章常微分方程初值问题的数值方法5
2.1Euler方法5
2.1.1显式Euler法5
2.1.2隐式Euler方法6
2.2梯形方法9
2.3Runge—Kutta方法11
2.3.1Runge—Kutta方法11
2.3.2Runge—Kutta方法的构造12
2.4单步法的收敛性与相容性17
2.4.1单步法的收敛性17
2.4.2单步法的相容性18
2.5一般线性多步法19
2.5.1显式Adams方法(外插法)19
2.5.2隐式Adams方法(内插法)20
2.6一般线性多步法的收敛性和稳定性22
2.6.1线性差分方程的基本性质22
2.6.2一般线性多步法的收敛性和稳定性24
第2篇偏微分方程数值解
第3章基本理论及概念31
3.1偏微分方程定解问题31
3.2差分方程31
3.2.1定解区域的离散化31
3.2.2差分格式32
3.2.3显式格式与隐式格式34
3.3截断误差和收敛性35
3.3.1截断误差的概念35
3.2.2推导截断误差的方法36
3.3.3差分格式的收敛性37
3.3.4差分格式的稳定性38
3.4差分格式的构造方法38
3.4.1数值微分法38
3.4.2积分插值法39
3.4.3待定系数法40
第4章椭圆型方程的有限差分方法43
4.1Dirichlet边值问题43
4.2五点差分格式44
4.2.1差分格式的建立44
4.2.2差分格式解的存在性47
4.2.3差分格式的求解47
4.2.4差分格式解的先验估计48
4.2.5差分格式解的收敛性和稳定性50
4.2.6数值计算与Matlab模拟51
4.3紧差分格式55
4.3.1差分格式的建立55
4.3.2差分格式的求解57
4.3.3差分格式解的收敛性和稳定性58
第5章抛物型方程的差分方法60
5.1一维线性抛物方程60
5.2向前差分格式60
5.2.1差分格式的建立61
5.2.2差分格式解的存在性62
5.2.3差分格式的求解63
5.2.4差分格式解的先验估计63
5.2.5差分格式解的收敛性和稳定性63
5.3向后差分格式65
5.3.1差分格式的建立65
5.3.2差分格式解的存在性66
5.3.3差分格式解的先验估计66
5.3.4差分格式解的收敛性和稳定性67
5.4Richardson格式67
5.4.1差分格式的建立67
5.4.2差分格式的求解68
5.4.3差分格式的不稳定性69
5.5Grank—Nicolson格式69
5.5.1差分格式的建立70
5.5.2差分格式解的存在性71
5.5.3差分格式解的先验估计72
5.5.4差分格式解的收敛性和稳定性72
5.6数值模拟73
第6章双曲型方程的有限差分方法75
6.1 波动方程75
6.2显式差分格式79
6.2.1差分格式的建立79
6.2.2差分格式解的收敛性和稳定性81
6.3隐式差分格式82
6.3.1差分格式的建立82
6.3.2差分格式解的收敛性和稳定性86
6.4数值模拟87
6.5一阶双曲方程89
6.5.1迎风格式89
6.5.2积分守恒的差分格式91
6.5.3其他差分格式92
6.5.4数值模拟93
第7章谱方法96
7.1Fourier谱方法96
7.1.1指数正交多项式96
7.1.2一阶波动方程的Fourier谱方法97
7.2Chebyshev谱方法98
7.2.1Chebyshev多项式98
7.2.2Gauss型积分的节点和权函数99
7.2.3数值分析100
7.2.4数值模拟101
7.2.5热传导方程的应用103
第8章有限元方法107
8.1边值问题的变分形式107
8.1.1Sobolev空间Hm(I)107
8.1.2a(u,v)基本性质110
8.2有限元法112
8.2.1Ritz—Galerkin法112
8.2.2有限元法构造114
8.3线性有限元法的误差估计117
8.3.1H1估计117
8.3.2L2估计118
8.4二次元119
8.4.1单元插值函数120
8.4.2有限元方程的形成122
8.5椭圆型方程边值问题的有限元法123
8.5.1变分原理123
8.5.2Ritz—Galerkin方法124
8.5.3有限元方法125
8.6抛物型方程初边值问题的有限元法128
第3篇分数阶偏微分方程数值解
引言135
第9章分数阶微积分的相关概念及算法136
9.1分数阶微积分定义及其相互关系136
9.2Riemann—Liouville分数阶微积分的G算法138
9.3Riemann—Liouville分数阶导数的D算法140
9.4Riemann—Liouville分数阶积分的R算法141
9.5分数阶导数的L算法143
9.6分数阶差商逼近的一般通式144
9.7经典整数阶数值微分、积分公式的推广146
9.7.1经典向后差商及中心差商格式的推广146
9.7.2插值型数值积分公式的推广148
9.7.3经典线性多步法的推广(Lubich分数阶线性多步法)148
第10章分数阶常微分方程数值解方法152
10.1直接法153
10.2间接法157
10.2.1R算法157
10.2.2分数阶预估—校正方法157
10.3差分格式157
10.4误差分析159
第11章分数阶偏微分方程数值解解法161
11.1空间分数阶对流—扩散方程161
11.2时间分数阶偏微分方程164
11.2.1差分格式165
11.2.2稳定性分析(Fourier—Von Neumann方法)165
11.2.3误差分析166
11.3时间—空间分数阶偏微分方程168
11.3.1差分格式168
11.3.2稳定性及收敛性分析170
参考文献173